Вектори: практично обяснение за 10. клас
Сбор, разлика, скаларно произведение: операциите с вектори са логични, когато знаеш откъде идват. Обяснение с физически примери.
Вектори в 10 клас: от дефиниция до задачи
Векторите са едновременно геометрична и алгебрична концепция и точно това ги прави трудни за ученика, свикнал да мисли само в едното от двете.
Какво е вектор
Вектор е ориентиран отсечка, отсечка с посока. Дефинира се с начална точка A и крайна точка B, записва се като AB (с черта отгоре).
Дължина (модул) на вектор: |AB| е дължината на отсечката AB. Нулев вектор: дължина 0, неопределена посока. Единичен вектор: дължина 1.
Два вектора са равни ако имат еднаква дължина и посока (независимо от началните точки).
Координати на вектор
При вектор AB с A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂):
- Координати: AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)
- Модул: |AB| = корен от ((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)
Пример: A(1, 3), B(4, 7). AB = (3, 4). |AB| = корен от (9+16) = 5.
Операции с вектори
Събиране
Геометрично: Правило на паралелограма или правило на триъгълника. Алгебрично: Ако a = (a₁, a₂) и b = (b₁, b₂), тогава a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂).
Умножение по число (скалар)
λ × a = (λa₁, λa₂). Ако λ > 0, посоката се запазва. Ако λ < 0, посоката се обръща. Дължината се умножава по |λ|.
Скаларно произведение
a · b = a₁b₁ + a₂b₂
Геометрично: a · b = |a| × |b| × cos θ, където θ е ъгълът между векторите.
Следствие: Два вектора са перпендикулярни тогава и само тогава, когато a · b = 0.
Следствие: cos θ = (a · b) / (|a| × |b|), намираш ъгъла между два вектора.
Колинеарни вектори
Два вектора са колинеарни (успоредни) тогава и само тогава, когато b = λ × a за някое число λ.
При координати: a = (a₁, a₂) и b = (b₁, b₂) са колинеарни, ако a₁b₂ - a₂b₁ = 0.
Векторно уравнение на права
Правата, минаваща през точка A(x₀, y₀) с насочващ вектор v = (l, m):
Параметрично: x = x₀ + lt, y = y₀ + mt
Декартово (при m ≠ 0): y - y₀ = (m/l)(x - x₀)
Перпендикулярни прави имат насочващи вектори с скаларно произведение 0.
Типични задачи от изпити
Задача: Дадено е A(2, -1), B(5, 3). Намери единичния вектор в посоката на AB.
AB = (3, 4). |AB| = 5. Единичен вектор = (3/5, 4/5).
Задача: Вектори a = (2, 3) и b = (x, -2). Намери x, при който са перпендикулярни.
a · b = 0 → 2x + 3×(-2) = 0 → 2x = 6 → x = 3.
Задача: Намери ъгъла между a = (1, 0) и b = (1, 1).
cos θ = (1×1 + 0×1) / (1 × корен от 2) = 1/корен от 2. θ = 45°.
Векторите в 3D (ако е в програмата)
Добавя се трета координата z. Всички операции се разширяват по аналогия. Допълнително: векторно произведение a × b, вектор, перпендикулярен и на двата, с модул |a||b|sin θ.