Делимост на числа: всички правила с примери
Правилата за делимост с 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 и 10, с обяснение защо работят, а не само как. За 5.–7. клас.
Правила за делимост и защо работят
Правилата за делимост са инструменти, но ученикът, разбиращ защо работят, ги помни завинаги. Ученикът, заучил ги наизуст, ги забравя след изпита.
Делимост с 2
Правило: Числото е делимо с 2 ако последната му цифра е четна (0, 2, 4, 6, 8).
Защо: Всяко многоцифрено число може да се запише като 10k + d, където d е последната цифра. 10k е делимо с 2 (10 = 2×5). Значи делимостта на цялото число зависи само от d.
Примери: 348, последна цифра 8 (четна) → делимо. 573, последна цифра 3 (нечетна) → не е делимо.
Делимост с 4
Правило: Числото е делимо с 4 ако последните две цифри образуват число, делимо с 4.
Защо: Всяко число = 100k + (последните две цифри). 100 = 4 × 25, значи 100k е делимо с 4. Остава да провериш последните две цифри.
Примери: 1348 → последните две цифри: 48 = 4 × 12 → делимо. 1362 → 62 / 4 = 15.5 → не е делимо.
Делимост с 8
Правило: Числото е делимо с 8 ако последните три цифри образуват число, делимо с 8.
Защо: 1000 = 8 × 125, значи 1000k е делимо с 8.
Пример: 15 384 → последните три: 384 = 8 × 48 → делимо.
Делимост с 5
Правило: Числото е делимо с 5 ако последната му цифра е 0 или 5.
Защо: 10k е делимо с 5. Остава само последната цифра.
Примери: 345 (5) → делимо. 348 (8) → не е делимо.
Делимост с 10
Правило: Числото е делимо с 10 ако последната му цифра е 0.
Следва директно от делимостта с 2 И с 5.
Делимост с 3
Правило: Числото е делимо с 3 ако сборът от цифрите му е делимо с 3.
Защо: Всяка цифра на позиция k допринася cₖ × 10^k. Тъй като 10 ≡ 1 (mod 3), всяка степен на 10 ≡ 1 (mod 3). Следователно числото ≡ сбор от цифрите (mod 3).
Примери: 4 872 → 4+8+7+2 = 21 = 3×7 → делимо. 4 873 → 4+8+7+3 = 22 → не е делимо.
Делимост с 9
Правило: Числото е делимо с 9 ако сборът от цифрите му е делимо с 9.
Защо: Аналогично на делимостта с 3, но 10^k ≡ 1 (mod 9).
Примери: 4 572 → 4+5+7+2 = 18 = 9×2 → делимо. 4 573 → 19 → не е делимо.
Делимост с 6
Правило: Числото е делимо с 6 ако е делимо едновременно с 2 И с 3.
Защо: 6 = 2 × 3 и 2 и 3 са взаимно прости.
Пример: 726 → последна цифра 6 (делимо с 2) + 7+2+6=15 (делимо с 3) → делимо с 6.
Делимост с 11
Правило: Числото е делимо с 11 ако редуващата сума от цифрите е делимо с 11.
Редуваща сума = (сбор на цифрите на нечетни позиции) - (сбор на цифрите на четни позиции).
Защо: 10 ≡ -1 (mod 11), значи 10^k ≡ (-1)^k (mod 11), редуване на знаците.
Пример: 121 → (1+1) - 2 = 0 → делимо с 11. 1 364 → (1+6) - (3+4) = 7-7 = 0 → делимо.
Как да комбинираш правилата
Делимост с 12: делимо с 4 И с 3. Делимост с 15: делимо с 5 И с 3. Делимост с 18: делимо с 9 И с 2.
Общото правило: ако n = a × b и a, b са взаимно прости, делимостта с n ⟺ делимост с a И с b.
Приложения в задачи
Задача: Колко четирицифрени числа, в чийто запис влизат само цифрите 1 и 2, са делими с 3?
Сборът от цифрите на четирицифрено число от 1 и 2 = брой двойки × 2 + брой единици × 1. Общо 4 цифри. Варианти: (0 двойки: сбор=4), (1 двойка: сбор=5), (2 двойки: сбор=6), (3 двойки: сбор=7), (4 двойки: сбор=8). Делими с 3 са сборовете 6 (2 двойки) и... само 6. 2 двойки, 2 единици → брой наредби = 4!/(2!2!) = 6 числа.